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已知a,b,c都是实数，且他们的绝对值小于1，求证：ab bc ac 1大于0，能不能用三角代换法，别的办法呢？

最佳答案 - 由投票者2008-06-12 17:22:22选出

分类讨论法：
（1）a,b,c同号时，ab+bc+ac+1大于0。
（2）a,b,c不同号时，一正两负，两正一负.由于abc的地位是一样的，可设
（I）a>0,b<0,c<0,ab+bc+ac+1=bc+ab+ac+1>bc+b+c+1=(b+1)(C+1）>0
（II）a>0,b>0,c<0,ab+bc+ac+1>ab-b-a+1=(b-1)(a-1)>0
(3)a,b,c中有的是零，易得ab+bc+ac+1大于0。
综合得ab+bc+ac+1大于0。
(注，（I）a>0,b<0,c<0中ab>b,ac>c,（II）a>0,b>0,c<0中bc>-b,ac>-a)

(1)abc=0,即a,b,c中至少一个为0,不妨设a=0,则ab+bc+ac+1=bc+1>1-bc>0
(2)abc不=0,即a,b,c都不为0,则,a,b,c三者中必有2个是同号的,不妨设a,b同号,
则ab>0,所以ab+bc+ac+1=ab+bc+ac+1>ab-bc-ac+1>ab-b-a+1=（1-a)(1-b)>0
综上,ab+bc+ac+1>0

a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,
ab+bc+ca+1=cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα+1=(cosα+cosγ)(cosβ+cosγ)+sin^2γ
=2cos(α+β)/2*cos(α-β)/2*2cos(β+γ)/2*cos(β-γ)/2+sin^2γ＞0

a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,
ab+bc+ca+1=cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα+1=(cosα+cosγ)(cosβ+cosγ)+sin^2γ
=2cos(α+β)/2*cos(α-β)/2*2cos(β+γ)/2*cos(β-γ)/2+sin^2γ＞0

令a=sinx;b=siny;c=sinz.x;y;z∈（-π/2,π/2).则
ab+bc+ca+1
=sinxsiny+sinysinz+sinzsinx+1
=sinxsiny+sinysinz+sinzsinx+(sinx)^2+(cosx)^2
=siny(sinx+sinz)+sinx(sinz+sinx)+(cosx)^2
=(sinx+sinz)(sinx+siny)+(cosx)^2
=-2cos[(x+z)/2]cos[(x-z)/2](-2)cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+(cosx)^2(*)
-Pi/2 --->-Pi/2<(x+z)/2 --->cos[(x+z)/2]>0;cos[(x-z)/2]>0
同理cos[(x-y)/2]>0;cos[(x-y)/2]>0。又(-2)*(-2)>0;(sinx)^2>=0
所以(*)>0恒成立。因此ab+bc+ca+1>0成立。

可设ab≥0，
则ab+bc+ac+1≥ab-bc-ac+1≥ab-b-a+1=（1-a)(1-b)>0.

按青青子衿的建议多说点。a，b，c必有2个同号（设0和+同号），
则ab ，bc， ac 必有1个≥0，所以由对称性可设ab≥0。