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January lnx=ax的实根讨论
lnx=ax的实根讨论
f(x)=lnx - ax
lnx的图象在第一．四象限，
ａ＝０时，方程lnx=ax有唯一的实根ｘ＝１；
ａ＜０时，ａｘ的图象在第三．四象限，方程lnx=ax有唯一的实根．
ａ＞０时，ａｘ的图象在第一．三象限，lnx曲线的切线斜率为１／ｘ，在（ｘ＇，ｌｎｘ＇）切线方程为ｙ＝ｘ／ｘ＇＋ｌｎｘ＇－１，当ｌｎｘ＇－１＝０，ｌｎｘ＇＝１，ｘ＇＝ｅ时，切线通过原点，即ｙ＝ｘ／ｅ．此时ａ＝１／ｅ，f(x) =lnx - ax ＝
lnx - ｘ／ｅ，方程lnx=ax有唯一的实根ｘ＝ｅ，即ｆ（ｅ）＝f(1/a)=0．显然，ａ＜１／ｅ时，方程lnx=ax有两个实根，１／ａ＞ｅ，f(1/a)＞ｆ（ｅ）＝0．ａ＞１／ｅ时，f(1/a)＜f(ｅ)=0，方程没有实根．
最佳答案 - 由投票者2007-06-26 20:42:28选出
画图解决吧
最多有两个实根
最少没有实根
要使其只有一个实根，则相交点的斜率必相等。
方程两边同时求导，
有1/x =a
故 x=1/a 时有且只有一个实根
lnx - ax =f(x)
故f(1/a)=0时有且只有一个实根
当 f(1/a)>0时有两个实根
当然也有以用二分法等数值解法也能算出来。
画图是一个好方法，比较直观。
谢谢
数形结合，作y=lnx与y=ax的图象，看交点的个数。
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